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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

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1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
d) f(x)=x3−5x2+6xf(x)=x^{3}-5 x^{2}+6 x, eje xx

Respuesta

En este caso tenemos dos funciones involucradas:

f(x)=x3−5x2+6xf(x)=x^{3}-5 x^{2}+6 x

g(x)=0g(x) = 0 (el eje xx)

1) Buscamos los puntos de intersección entre f f y g g x3−5x2+6x=0 x^3 - 5x^2 + 6x = 0 Sacamos factor común xx x(x2−5x+6)=0 x(x^2 - 5x + 6) = 0 Igualando cada factor a cero, llegamos a que las soluciones de esta ecuación y, por lo tanto, los puntos de intersección son x=0 x = 0 , x=2 x = 2 y x=3 x = 3 .

2) Techo y piso

En el intervalo (0,2)(0,2) -> ff es techo y el eje xx es piso

En el intervalo (2,3)(2,3) -> El eje xx es techo y ff es piso

3) Planteamos el integral del área

A=∫02f(x) dx+∫23−f(x) dx A = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} -f(x) \, dx

Integral 1

∫02(x3−5x2+6x) dx= x44−5x33+3x2∣02=83 \int_{0}^{2} (x^3 - 5x^2 + 6x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + 3x^2 \Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3}

Integral 2

∫23−(x3−5x2+6x) dx=−x44+5x33−3x2∣23=512 \int_{2}^{3} -(x^3 - 5x^2 + 6x) \, dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} - 3x^2 \Big|_{2}^{3} = \frac{5}{12}

Juntamos ambos resultados y ya tenemos el área total:

A=∫02f(x) dx+∫23−f(x) dx= 83+ 512=3712 A = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} -f(x) \, dx = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}
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Pablo
11 de junio 15:08
Hola, Floor! Todo bien? 
Pregunta...Por qué en el intervalo (2,3) el eje x es techo y f(x) es piso? Porque cuando yo evalúo en x=3/2 me da f=9/8
Cómo evaluás g(x) acá?
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Flor
PROFE
11 de junio 19:19
@Pablo Hola Pablo! Pero ojo porque 3/23/2 es 1.51.5 jaja no estaría en el intervalo (2,3)(2,3). Podés evaluar por ejemplo en 5/25/2 (2.5) 

Y g(x)g(x) es simplemente 00 siempre, es el eje xx. Vas a ver que si evaluas ff en 2.52.5 por ejemplo te va a dar un número negativo, y por eso gg (el eje xx) es techo
0 Responder